सरलीकरण के 20 महत्वपूर्ण सवाल सभी प्रकार के कम्पटीशन exams के लिए उपयोगी है सरलीकरण (Simplification) से exams में कम से कम 1 या 2 प्रश्न अवश्य पूछे जाते है
सरलीकरण के 20 महत्वपूर्ण सवाल और हल :-
Q1. 3011 × 3012 से कोन-सा न्यूनतम धन पूर्णाक घटाया जाए कि शेषफल पूर्ण वर्ग हो
3011 × 3012 = 3011(3011 + 1)
30112 + 3011
इसलिए संख्या 3011 वह न्यूनतम धन पूर्णाक है जिसके घटाने पर शेषफल पूर्ण वर्ग बन जाता है
Q2. तीन क्रमागत धनात्मक संख्याओ के वर्गो का योग 365 है तदनुसार उन संख्याओ का योग कितना है ?
माना तीन क्रमागत धनात्मक संख्याए = a, (a + 1), (a + 2)
a2 + (a + 1)2 + (a + 2)2 = 365
a2 + a2 + 1 + 2a + a2 + 4 + 4a = 365
3a2 + 6a = 360 ⇒ a2 + 2a – 120 = 0
इसलिए तीनों क्रमागत धनात्मक संख्याये = (a – 1), a, (a + 1)
(a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 = a2 + 1 – 2a + a2 + a2 + 1 + 2a
3a2 + 2 = 365 क्योकि दिया है
3a2 = 363 ⇒ a2 = 121
a = 11 इसलिए तीनों संख्याये = 10, 11, 12
संख्याओ का योग = 10 + 11 + 12 = 33
Q3. धन पूर्णाको के युग्मो की संख्या, जिनके वर्गो का अंतर 45 है, होगी
a2 – b2 = 45 [माना a और b दो धन पूर्णाक है जिनके वर्गो का अंतर 45 है]
(a – b)(a + b) = 45 ⇒ (a – b)(a + b) = 45
9 × 5, 15 × 3, 45 × 1
अत ऐसे युग्मों की संख्या 3 है
Q4. [1570]2 + [1571]2 + [1572]2 + [1573]2 में इकाई के स्थान पर कोन-सा अंक है ?
इकाई का अंक देखने के लिए हम
(0)2 + (1)2 + (2)2 +(3)2 = 0 + 1 + 4 + 9
= 14 मतलब उपरोक्त का इकाई अंक 4 होगा
Q5. यदि व्यंजक x2/y2 + tx + y2/4 एक पूर्ण वर्ग हो, तो t का मान कितना होगा ?
उपरोक्त व्यंजन x2/y2 + tx + y2/4 एक पूर्ण वर्ग हो सकता है
(x/y + y/2)2 = x2/y2 + y2/4 + x
इसलिए t का मान 1 होगा
Q6. √(0.064 × 0.256 × 15.625)/(0.025 × 0.625 × 4.096) का मान क्या है ?
= √(64 × 256 × 15625)/(25 × 625 × 4096)
= (8 × 16 × 125)/(5 × 25 × 64)
= 2
ध्यान दे :-
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Q7. 33 – 4√35 का वर्गमूल कितना है ?
= 33 – 4√(7×5)
= 28 + 5 – 2 × 2 × √7 × √5
= (2√7)2 + (√5)2 – 2 × 2√7 × √5
= (2√7 – √5)2 [क्योकि (a – b)2 फार्मूला का प्रयोग करने पर]
33 – 4√35 का वर्गमूल = √(33 – 4√35)
√(33 – 4√35) = ± (2√7 – √5)
Q8. यदि (x + 7954 × 7956) एक वर्ग संख्या हो तो ‘x’ का मान क्या होगा ?
(x + 7954 × 7956) = (x + 7954 × [7954 + 2])
(7954 × [7954 + 2] + x) = (7954)2 + 2×7954×1 + (1)2
इसलिए (x + 7954 × 7956) एक वर्ग संख्या बनाने के लिए x का मान 1 रखना होगा
Q9. √1936 + √0.1936 + √0.001936 + √0.00001936 का मान क्या होगा ?
= √(44)2 + √(0.44)2 + √(0.044)2 + √(0.0044)2
= 44 + 0.44 + 0.044 + 0.0044
= 44.4884
Q10. निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए – √156.25 + √0.0081 – √0.0361
= √(12.5)2 + √(0.09)2 – √(0.19)2
= 12.5 + 0.09 – 0.19
= 12.78
Q11. 2√50 + √18 – √72 का सरलतम मान ज्ञात कीजिए
= 10√2 + 3√2 – 6√2
= 7√2
Q12. 62478078 के वर्गमूल में अंको की संख्या कितनी है ?
संख्या 62478078 के वर्गमूल में अंको की संख्या 4 होगी
Q13. 16a2 – 12a व्यंजक में कितनी संख्या जोड़ी जाए, ताकि वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए ?
= (4a)2 – 2×(4a)×(3/2)
उपरोक्त संख्या (4a – 3/2)2 बन सकता है अगर हम उपरोक्त व्यंजन में (3/2)2 जोड़ देते है
क्योकि (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
16a2 – 12a + x = 0 [जहा x संख्या जिसे जोड़ने पर व्यंजन एक पूर्ण वर्ग बन जाता है
x का मान 2 रखने पर उपरोक्त व्यंजन के दो टुकड़े प्राप्त हो जाते है
इसलिए उपरोक्त व्यंजन मे संख्या 2 जोड़ने पर, यह अक पूर्ण वर्ग बन जाता है
Q14. चार अंको की वह सबसे बड़ी संख्या कोन सी है, जो पूर्ण वर्ग भी है
चार अंको की वह सबसे बड़ी संख्या, जो पूर्ण वर्ग हो, वह है –
99 × 99 = 9801
Q15. यदि (nr – tn + 1/4) एक पूर्ण वर्ग हो, तो t के मान क्या होंगे ?
nr – tn + 1/4 = 0 अगर यह एक पूर्ण वर्ग
यह (n – 1/2) एक पूर्ण वर्ग बन सकता है ⇒ n2 + 1/4 – n
इसलिए t का मान 1 होगा
Q16. एक अध्यापक अपने विद्यार्थियों को एक बराबर संख्या में पंक्तियों और स्तम्भों में रखना चाहता है यदि विद्यार्थियों की कुल संख्या 1369 है, तो अंतिम पंक्ति में कितने विद्यार्थी होंगे ?
a × a = 1369 जहा a पंक्तियों की संख्या या स्तम्भों की संख्या है
a2 = 1369 ⇒ a = 37
इसलिए अंतिम पंक्ति मेंविद्यार्थियों की संख्या = 37
Q17. दो संख्याओ का औसत 7.5 है और उनके गुणनखण्ड का वर्गमूल 6 है वे संख्याए है :
(a + b)/2 = 7.5 ⇒ (a + b) = 15 ……………………… 1
√ab = 6 ⇒ ab = 36 ……………………. 2
समीकरण 1 और 2 से,
a + 36/a = 15 ⇒ a2– 15a + 36 = 0
द्विघात समीकरण को हल करने पर,
a = 12, 3
यदि a = 3 तो b = 12
Q18. पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 1728 में जोड़ी जाने वाली अनिवार्य न्यूनतम संख्या बताइए
जेसा कि हमे ज्ञात है कि 40 का वर्ग 1600 होता है, 41 का वर्ग 1681 और 42 का वर्ग = 1764 होता है
इसलिए पूर्ण वर्ग बनाने के लिए संख्या 1728 में जोड़ी जाने वाली अनिवार्य न्यूनतम संख्या होगी
1764 – 1728 = 36
Q19. किसी धनात्मक संख्या का इक्कीस गुणा, उसके वर्ग से 100 कम है उस धनात्मक संख्या का मान होगा
a2 – 21a = 100 ⇒ a2 – 21a – 100 = 0
a2 – 25a + 4a – 100 = 0 ⇒ a(a – 25) + 4(a – 25) = 0
a = 25, -4
वह धनात्मक संख्या 25 होगी
Q20. किसी सेना के जनरल 36562 सैनिको से एक वर्गाकार व्यूह बनाना चाहते है व्यूह की रचना करने के बाद कुछ सेनिक बच गए बचे हुए सैनिको की संख्या क्या थी ?
हमे ज्ञात है कि 19 का वर्ग 361 होता है और 190 का 36100 होता है
191 का वर्ग 36481 होता है
इसलिए 36562 सेनिको में से बचे हुए सेनिको की संख्या = 36562 – 36481 = 81
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