वृत्त Circle और मापन

वृत के अंदर बने त्रिभुज, चतुर्भुज और बहुभुज के कोणों और भुजाओ को निकालना सीखेंगे वृत्त Circle और मापन में आपको 10 वी कक्षा वृत्त से सम्बंधित महत्वपूर्ण सवालो के हल भी देखने को मिलेंगे

वृत्त Circle और मापन
वृत्त Circle और मापन

वृत्त Circle और मापन के 18 सवाल हल सहित –

Q1. दिए गये चित्र में PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है तथा POQ इस वृत्त का व्यास है यदि ∠QRS = 150° हो, तो ∠SQP का मान कितना है

∠QRS + ∠QPS = 180° वृत्त के अंदर बने चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग

150 + ∠QPS = 180° ⇒ ∠QPS = 30°

∠PSQ = 90 अर्धवृत में बना कोण

त्रिभुज QPS में,

∠PQS + ∠QSP + ∠SPQ = 180°

∠PQS + 90 + 30 = 180° ⇒ ∠PQS = 60°

Q2. दी गई आकृति में वृत्त का केंद्र O है यदि ∠AOC = 90° तथा ∠AOB = 110° हो, तथा ∠BAC = x हो, तो x का मान क्या होगा ?

∠BOC + ∠BOA + ∠COA = 360°

∠BOC + 110 + 90 = 360 ⇒ ∠BOC = 120°

∠BAC = (1/2)∠BOC ⇒ ∠BAC = 60°

Q3. दी गई आकृति में वृत्त के बाहर बिंदु P से जीवाये PA तथा PC खीची गई है यदि PA = 8 cm, PD = 4 cm तथा CD = 3 cm हो, तो AB की लम्बाई कितनी है

माना AB = x cm, तब PB = 8 – x

PA × PB = PC × PD

8 × (8 – x) = 7 × 4 ⇒ 64 – 8x = 28

8x = 36 ⇒ x = 4.5

Q4. किसी वृत्त की दो जीवाये AB तथा CD एक- दुसरे को बिंदु E पर काटती है यदि AE = 4 cm, EB = 6 cm तथा CE = 5 cm हो तो ED का नाप कितना होगा ?

AE × EB = CE × ED

4 × 6 = 5 × x ⇒ x = 4.8 cm

Q5. ΔABC के शीर्षों को केंद्र मान कर तीन वृत्त खीचे जाते है जिनमे से प्रत्येक अन्य दो को बाह्य स्पर्श करता है यदि त्रिभुज की भुजाये 4 cm, 6 cm तथा 8 cm लम्बी हो, तो तीनों वृतो की त्रिज्याओ का योग कितना होगा ?

माना AD = r1, BE = r2, CF = r3

तब r1 + r2 = 4 क्योकि AB = 4 …………………. 1

r2 + r3 = 6 क्योकि BC = 6 …………………. 2

r3 + r1 = 8 क्योकि AC = 8 …………………. 3

2(r1 + r2 + r3) = 18 ⇒ (r1 + r2 + r3) = 9

तीनों वृतो की त्रिज्याओ का योग = 9 cm

Q6. 10 cm त्रिज्या के वृत्त के अंतर्गत एक समकोण त्रिभुज बनाया गया है वृत्त का व्यास त्रिभुज की एक भुजा है तथा त्रिभुज की परिमिति 48 cm है इस त्रिभुज की अन्य दो भुजाओ की माप क्या है ?

माना समकोण त्रिभुज ABC की भुजा AB = x और भुजा AC = y है तब

x + y + BC = 48 क्योकि त्रिभुज की परिमिति 48 cm है

x + y = 28 (क्योकि BC = 2×10) …………………… 1

समकोण त्रिभुज ABC में,

x2 + y2 = (20)2 ⇒ x2 + y2 = 400 …………………… 2

x2 + y2 + 2xy = 784 …………………… 3

समीकरण 2 और 3 से,

xy = 192 cm

(x – y)2 = x2 + y2 – 2xy = 400 – 384 = 16

(x – y) = 4 …………………… 4

समीकरण 1 और 4 से,

x = 16 और y = 12

Q7. एक फर्श की वृताकार परिधि पर तीन लड़के खडे है वे एक-दुसरे से समान दूरी पर है यदि फर्श की त्रिज्या 5 मीटर हो तो दो लडकों के बीच न्यूनतम दूरी कितनी है ?

फर्श की वृताकार परिधि पर तीन लड़के खड़े होने से बना समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = [(√3)/4] a2

(AB × BC × CA)/4r = [(√3)/4] a2 ⇒ (a × a × a)/4r = [(√3)/4] a2

a/r = (√3) ⇒ a = 5√3 [क्योकि r = 5]

दो लडकों के बीच न्यूनतम दूरी = 5√3

Q8. दी गई आकृति में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमे DC को E तक बढ़ाया गया है तथा CF ∥ AB खीचा गया है यदि ∠ADC = 95° तथा ∠ECF = 20° हो, तो ∠BAD का माप क्या होगा ?

∠ABC + ∠ADC = 180 ⇒ ∠ABC + 95 = 180

∠ABC = 85

∴ ∠BCF = 85 [∵ एकांतर कोण (∠ABC = ∠BCF)]

∠BCE = ∠BCF + 20 ⇒ ∠BCE = 105

∠BCD + ∠BCE = 180 ⇒ ∠BCD = 75

∠BAD + ∠BCD = 180° [∵ सर्किल के अंदर बने चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग]

∴ ∠BAD = 105°

Q9. दिये गये वृत्त का केंद्र O है O से 10 cm दूरी पर एक बिंदु P लिया गया है इस बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा PT खीची गई है यदि PT = 8 cm हो, तो वृत्त की त्रिज्या कितनी है ?

समकोण त्रिभुज PTO में,

PO2 = PT2 + TO2 ⇒ 100 = 64 + TO2

TO2 = 36 ⇒ TO = 6 cm

Q10. दिये गये चित्र में एक वृत्त का केंद्र O है केंद्र से 26 cm दूरी पर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखा PT खीची गई है यदि वृत्त की त्रिज्या 10 cm हो तो PT की लम्बाई कितनी है ?

समकोण त्रिभुज PTO में,

PO2 = PT2 + TO2 ⇒ 676 = PT2 + 100

PT = 24 cm

Q11. दिये गये चित्र में वृत्त का केंद्र O है वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु P से स्पर्श रेखाये PA तथा PB खीची गई है यदि ∠APB = 50° हो, तो ∠OAB का मान कितना है ?

PA ⊥ OA और PB ⊥ OB [क्योकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर लम्ब होती है]

∠PAB = ∠PBA = x

त्रिभुज PAB में,

∠PAB + ∠ABP + ∠BPA = 180° [त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है]

2x + 50 = 180 ⇒ x = 65

∠OAP = ∠OAB + ∠BAP ⇒ 90 = ∠OAB + 65

∠OAB = 25°

Q12. यदि किसी वृत्त की दो त्रिज्याओ के बीच 130° का कोण हो, तो इन त्रिज्याओ के अंत में बनी स्पर्श रेखाओ के बीच का कोण कितना होगा ?

∠A + ∠O + ∠B + ∠P = 360° [क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है]

90 + 130 + 90 + ∠P = 360 ⇒ ∠P = 50°

Q13. दिये गये चित्र में वृत्त का केंद्र O है तथा OP वृत्त की एक त्रिज्या है बिंदु P पर स्पर्श रेखा PT खीची गई है यदि OT = 8 cm हो तथा ∠PTO = 30° हो, तो PT की लम्बाई कितनी है ?

समकोण त्रिभुज OPT में,

PT/OT = आधार/कर्ण = cos30

PT/8 = √3/2 ⇒ PT = 4√3 cm

Q14. दिये गये चित्र में दो समकेन्द्रीय वृत्त दिये गये है जिनमे से प्रत्येक का केंद्र O है तथा इनकी त्रिज्याये क्रमशः 3 cm तथा 5 cm है बाहरी वृत्त की एक जीवा AB है जो अंदर वाले वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करता है जीवा AB की लम्बाई कितनी है

समकोण त्रिभुज OPA में,

OA2 = OP2 + PA2 ⇒ 52 = 32 + PA2

PA = 4 cm

AB = 4 + 4 = 8 cm [AP = PB]

Q15. सम्लग्न आकृति में तीन वृत्त जिनके केंद्र क्रमशः A, B तथा C है प्रत्येक एक-दुसरे को बाह्य स्पर्श करते है यदि AB = 5 cm, BC = 7 cm तथा CA = 6 cm हो, तो केंद्र A वाले वृत्त की त्रिज्या कितनी है ?

माना A केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या = a, B केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या = b और C केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या = c

इसलिए AB = (a + b), BC = (b + c), CA = (c + a)

AB + BC + CA = 2(a + b + c)

5 + 7 + 6 = 2(a + b + c) [क्योकि AB = 5 cm, BC = 7 cm तथा CA = 6 cm दिया है]

(a + b + c) = 9 ………………… 1

a = (a + b + c) – (b + c) = 9 – 7 = 2 cm

केंद्र A वाले वृत्त की त्रिज्या = 2 cm

Q16. दी गई आकृति में एक वृत्त की परिगत एक चतुर्भुज ABCD खीचा गया है जिसकी भुजाये वृत्त को क्रमशः बिंदु P, Q, R तथा S पर छुती है यदि AP = 5 cm, BC = 7 cm तथा CS = 3 cm हो तो भुजा AB की लम्बाई कितनी है ?

AP = 5 cm, BC = 7 cm तथा CS = 3 cm [दिया है]

AP = AQ = 5, CS = CR = 3 और BR = BQ = (7 – 3) = 4

AB = 5 + 4 = 9 cm

Q17. दी गई आकृति में एक वृत्त पर बिंदु P से स्पर्श रेखाये PA तथा PB इस प्रकार खीची गई है कि ∠APB = 60° तथा PA = 6 cm तब जीवा AB की लम्बाई कितनी है ?

∠A = ∠B = x [क्योकि PA = PB]

त्रिभुज APB में,

∠A + ∠P + ∠B = 180 [क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग]

x + 60 + x = 180 ⇒ 2x = 120

x = 60

स्पष्ट है कि दी गई त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है

इसलिए जीवा AB की लम्बाई = 6 cm

Q18. दिये गये चित्र में वृत्त का केंद्र O है, BOA इस वृत्त का व्यास है P पर खीची गई स्पर्श रखा, BA को बढ़ाने पर T पर मिलती है यदि ∠PBA = 30° हो, तो ∠PTA = ?

OP = OB ⇒ ∠OPB = ∠OBP = 30°

∴ ∠BPT = ∠OPB + ∠OPT = 30 + 90 = 120°

त्रिभुज PBT में,

∠PBT + ∠BTP + ∠TPB = 180° क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180 होता है

30 + ∠BTP + 120 = 180 ⇒ ∠BTP = 30°

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