त्रिभुजों के हल

त्रिभुजों के हल में त्रिभुज के 20 सवालों को चित्र सहित हल करके समझाया है त्रिभुज से संबंधित प्रश्न का यह तीसरा भाग है इसके पहले भाग में त्रिभुजों की सर्वांगसमता के नियम और समरूपता को बताया है

त्रिभुजों के हल
त्रिभुजों के हल

त्रिभुजों के हल 20 प्रश्नों के साथ –

Q1. दी गई ∆ABC में, DE ∥ BC. यदि AD = x cm, DB = (x – 2) cm, AE = (x + 2) तथा EC = (x – 1) cm हो, तो x = ?

अनुपातिकता प्रमेय से,

AD/DB = AE/EC ⇒ x/(x – 2) = (x + 2)/(x – 1)

x(x – 1) = (x – 2)(x + 2)

x2 – x = x2 – 4 ⇒ x = 4

Q2. ∆ABC ~ ∆DEF . यदि  ∆ABC तथा ∆DEF की परिमिति क्रमशः 25 cm और 15 cm हो तथा BC = 9 cm हो, तो EF = ?

∆ABC की परिमिति/ ∆DEF की परिमिति = BC/ EF

25/15 = 9/EF ⇒ EF = 135/25

EF = 5.4 cm

Q3. यदि ∆ABC तथा ∆DEF में AB/EF = BC/DF = CA/DE हो, तो निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

  1. ∆DEF ~ ∆CAB
  2. ∆DEF ~ ∆ABC
  3. ∆DEF ~ ∆CBA
  4. ∆DEF ~ ∆BCA

यदि ऐसा है AB/EF = BC/DF = CA/DE तो E → A, F → B, D → C

∴ ∆DEF ~ ∆CAB (मतलब आप्शन 1 सही है)

Q4. ∆ABC तथा ∆DEF में यदि ∠A = ∠E तथा ∠B = ∠F, तब निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

  1. BC/DF = AC/DE
  2. AB/DE = BC/FD
  3. AB/EF = AC/DE
  4. BC/FD = AB/EF

अगर ∠A = ∠E तथा ∠B = ∠F है तो ∠C = ∠D

ie. ∆ABC ~ ∆EFD ⇒ AB/EF = BC/FD

BC/FD = AB/EF मतलब आप्शन 4 सही है

Q5. यदि ∆ABC ~ ∆EDF हो, तो निम्नलिखित में से कोन सा कथन सत्य नही है ?

  1. AB.EF = AC.DE
  2. BC.DE = AB.FD
  3. BC.DE = AB.EF
  4. BC.EF = AC.FD

अगर ∆ABC ~ ∆EDF है तो A → E, B → D, C → F

AB.EF = AC.DE ⇒ AB/DE = AC/EF (आप्शन A सही है)

BC.DE = AB.FD ⇒ BC/FD = AB/DE (आप्शन B सही है)

BC.DE = AB.EF ⇒ BC/EF = AB/DE (आप्शन D गलत है)

BC.EF = AC.FD ⇒ BC/FD = AC/EF (आप्शन D सही है)

Q6. एक समबाहू ∆ABC में यदि AB का मध्य बिंदु D हो तथा AC का मध्य बिंदु E हो, तो (∆ABC का क्षेत्रफल : ∆ADE का क्षेत्रफल) = ?

समबाहू ∆ABC में यदि AB का मध्य बिंदु D हो तथा AC का मध्य बिंदु E है तो AB = 2AD = 2DB ⇒ AB/AD = 2/1

(∆ABC का क्षेत्रफल : ∆ADE का क्षेत्रफल) = (√3/4)a2 : (√3/4)a’2 जहा a और a’ समबाहु त्रिभुज की भुजा है

(√3/4)a2 : (√3/4)a’2 = (2)2 : (1)2 = 4 : 1

Q7. यदि ∆ABC ~ ∆DEF इस प्रकार हो कि ∆ABC का क्षेत्रफल = 25 cm2 तथा ∆DEF का क्षेत्रफल = 36 cm2 तब इन त्रिभुजो की संगत भुजाओ का अनुपात क्या होगा ?

∆ABC का क्षेत्रफल / ∆DEF का क्षेत्रफल = 25/36

AB2/ DE2 = 25/36 ⇒ AB/ DE = 5/6

Q8. दिया है ∆ABC ~ ∆DEF तथा BC/EF = 3/5 तब ar(∆DEF)/ar(∆ABC) = ?

ar(∆DEF)/ar(∆ABC) = (BC)2/(EF)2

⇒ (3)2/(5)2 = 9/25

Q9. दो समद्विबाहु त्रिभुओ के संगत कोण बराबर है तथा इनके क्षेत्रफलो का अनुपात 25 : 36 है इनकी संगत ऊंचाईयो का अनुपात क्या होगा ?

समद्विबाहु ∆ABC का क्षेत्रफल / समद्विबाहु ∆DEF का क्षेत्रफल = 25/36

AB2/ DE2 = 25/36 ⇒ AB/ DE = 5/6 जहा AB और DE त्रिभुजो की ऊंचाई है

Q10. यदि किसी समद्विबाहू ∆ABC में AC = BC हो तथा AB2 = 2AC2 हो तो ∠C = ?

समद्विबाहू ∆ABC में AC = BC तथा AB2 = 2AC2

AB2 = AC2 + BC2 {∵ AC = BC}

AB2 = AC2 + CB2 ⇒ ∠C = 90° {∵ (कर्ण)2 = (आधार)2 + (लम्भ)2 समकोण त्रिभुज में ही होता है}

Q11. दी गई ∆ABC में यदि AB = 8 cm, AC = 12 cm तथा ∠A का समद्विभाजक AD है तो BD : DC = ?

AB/AC = BD/DC {∵ समरूप त्रिभुज}

8/12 = BD/DC ⇒ BD/DC = 2/3

Q12. एक ∆ABC में ∠A का अर्द्धक AD है यदि BD = 5 cm, DC = 6 cm तथा AB = 8 cm हो, तो AC = ?

AB/AC = BD/DC {∵ समरूप त्रिभुज}

8/x = 5/6 ⇒ x = 48/5

Q13. एक ∆ABC में ∠A का अर्द्धक AD है यदि AB = 9 cm, AC = 12 cm, बद = (7 – x) cm तथा DC = x cm हो, तो x = ?

AB/AC = BD/DC {∵ समरूप त्रिभुज}

9/12 = (7 – x)/x ⇒ 9x = 84 – 12x

21x = 84 ⇒ x = 4

Q14. एक त्रिभुज में शीर्ष से डाला गया लम्ब आधार को समद्विभाजित करता है यह त्रिभुज है :

हल :- समद्विबाहु त्रिभुज

Q15. एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 10 cm लम्बी है इस त्रिभुज की ऊंचाई कितनी है ?

समकोण त्रिभुज ADB में,

(कर्ण)2 = (आधार)2 + (लम्भ)2

(10)2 = (5)2 + (लम्भ)2 ⇒ (लम्भ)2 = 100 – 25

लम्भ = 5√3 cm

Q16. एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लम्बाई 25 cm है शेष दोनों भुजाओ में से एक भुजा दूसरी भुजा से 5 cm बड़ी है इन दो भुजाओ की लम्बाईया है क्रमशः

(25)2 = (x)2 + (x + 5)2 ⇒ 625 = x2 + x2 + 25 + 10x

2x2 +10x – 600 = 0

2x2 + 40x – 30x – 600 = 0

2x(x + 20) -30(x + 20) = 0

(x + 20)(2x – 30) = 0

x = -20, 15

इसलिए भुजाओ की लम्बाई क्रमश = 15 cm, 20 cm

Q17. एक व्यक्ति एक बिंदु से 12 मीटर दक्षिण की और जाकर वहा से 35 मीटर पश्चिम की ओर जाता है वह प्रारम्भिक बिंदु से कितनी दूरी पर है ?

प्रारम्भिक बिंदु से दूरी = √(122 + 352) {∵ OB समकोण त्रिभुज OAB में कर्ण के रूप में कार्य करेगा}

⇒ √(144 + 1225) = 37 मीटर

Q18. जमीन में गडे हुये दो खम्भे क्रमशः 7 मीटर तथा 13 मीटर ऊँचे है तथा इनके बीच की क्षेतिज दूरी 8 मीटर है इन खम्बो की चोटियों के बीच की दूरी कितनी है ?

खम्बो की चोटियों के बीच की दूरी = √(82 + 62) {∵ BD समकोण त्रिभुज DEB में कर्ण के रूप में कार्य करेगा}

⇒ √(64 + 36) = 10 मीटर

Q19. ∆ABC में यदि AB = 3.5 cm तथा BC = 7 cm हो, तो निम्नलिखित में से कोन-सी नाप AC की लम्बाई नही हो सकती

  1. 3.4 cm
  2. 4 cm
  3. 4.5 cm
  4. 10 cm

हल :-

किसी त्रिभुज में किन्ही दो भुजाओ का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है

माना आप्शन 1 सही है इसलिए (3.4 + 3.5 > 7) जो कि सही नही है

इसलिए आप्शन 1 गलत है अर्थात AC की नाप 3.4 नही हो सकती

Q20. ∆ABC में यदि ∠A = 60° तथा ∠B = 80° हो, तो त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा कोन-सी है ?

60° + 80° + x = 180 (क्योकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है)

∴ x = 40°

इन तीनो में सबसे बड़ा कोण B है इसलिए इसके सामने वाली भुजा (AC) त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होगी