त्रिभुज से संबंधित प्रश्न

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न का यह चोथा भाग है इसमें 20 प्रश्नों को उनके हल सहित समझाया गया है तो चलिए सुरु करते है –

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न

Q1. ΔABC में ∠B = 35°, ∠C = 65° तथा ∠BAC का अर्द्धक BC को X पर काटता है तब, निम्नलिखित में से कोन-सा कथन सत्य है ?

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न
  1. AX > BX > CX
  2. BX > CX > AX
  3. BX > AX > CX
  4. CX > BX > AX

हल :- ∠A = 180° – (35 + 65) ⇒ ∠A = 80° {∵ त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है}

∠BAX = ∠CAX = 1/2(∠A) = 40°

त्रिभुज ABX में, ∠X = 180° – (35 + 40) ⇒ ∠X = 105°

ie. ∠ABX < ∠XAB < ∠AXB ⇒ AX < XB < AB ………………… 1

इसी प्रकार त्रिभुज ACX में, ∠X = 180° – (65 + 40) ⇒ ∠X = 75°

ie. ∠CAX < ∠ACX < ∠CXA ⇒ CX < AX < CA ………………… 2

समीकरण 1 और 2 से, CX < AX < XB < AB ⇒ CX < AX < XB

आप्शन 3 सत्य है

Q2. ΔABC में भुजा BC पर कोई बिंदु D हो, तो निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न
  1. AB + BC + CA = AD
  2. AB + BC + CA > AD
  3. AB + BC + CA = 2AD
  4. AB + BC + CA > 2AD

हल :- AB + BD > AD क्योकि त्रिभुज की दो भुजाओ का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है

और AC + CD > AD दोनों को जोड़ने पर

AB + BD + DC + AC > 2AD ⇒ AB + BC + AC > 2AD

इसलिए आप्शन 4 सही है

Q3. ΔABC के अभ्यन्तर में कोई बिंदु O है तब निम्नलिखित में से सही कथन कोन-सा है ?

  1. (OA + OB + OC) > (AB + BC + CA)
  2. (OA + OB + OC) > 1/2(AB + BC + CA)
  3. (OA + OB + OC) < 1/2(AB + BC + CA)
  4. इनमे से कोई नही

हल :- OB + OA > AB, OA + OC > AC और OB + OC > BC क्योकि त्रिभुज की दो भुजाओ का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है

2(OA + OB + OC) > (AB + BC + CA)

(OA + OB + OC) > (1/2)(AB + BC + CA)

इसलिए आप्शन 2 सही है

अगर आपको उपरोक्त सवालों के हल समझ नही आ रहे तो इसे जरुर पढ़े जो कि त्रिभुज से सम्बंधित पहला भाग है – त्रिभुज सर्वांगसमता और समरूपता A to Z जानकारी

Q4. ΔABC तथा ΔDEF में यदि ∠B = ∠E तथा ∠C = ∠F हो, तो ΔABC ≅ ΔDEF तभी होगा जबकि

  1. BC = EF
  2. AB = DF
  3. AC = DE
  4. ∠A = ∠D

हल :- अगर ΔABC ≅ ΔDEF है तो BC = EF होंगे

Q5. दो त्रिभुजो के सर्वांगसम होने के लिए निम्नलिखित में से कोन-सी प्रतिबन्धता पर्याप्त नही है ?

  1. SSA
  2. SAS
  3. ASA
  4. SSS

हल :- आप्शन 1 प्रतिबन्धता पर्याप्त नही है

Q6. दी गई आकृति में ΔABC में BL ⊥ AC तथा CM ⊥ AB इस प्रकार है कि BL = CM तब निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न
  1. ΔABL ≅ ΔACM
  2. ΔABL ≅ ΔAMC
  3. ΔABL ≅ ΔCAN
  4. ΔABC ≅ ΔEFD

हल :- ΔABL और ΔACM में,

BL = CM (∵ दिया है)

∠AMC = ∠ALB = 90° (∵ CM ⊥ AB)

इसलिए रूल ASA से, ΔABL ≅ ΔACM

आप्शन 1 सही है

Q7. यदि किसी त्रिभुज के दो शीर्षों से विपरीत भुजाओ पर डाले गये लम्ब बराबर हो, तो ऐसी त्रिभुज होगी

हल :- जेसा कि आपने उपरोक्त 6 सवाल का हल समझा इस सवाल के हल में उपरोक्त हल भी शामिल होगा मतलब ΔABL ≅ ΔACM ⇒ AB = AC

इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु होगी

Q8. निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

  1. एक त्रिभुज में दो कोण समकोण हो सकते है
  2. एक त्रिभुज में दो कोण अधिक कोण हो सकते है
  3. एक त्रिभुज में दो न्यूनकोण हो सकते है
  4. किसी त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाने पर बना बाह्यकोण प्रत्येक आंतरिक कोण से छोटा होता है

हल :- आप्शन 3 सत्य है

Q9. ΔABC की तीन माध्यकाये AD, BE तथा CF हो, तो निम्नलिखित कथनों में से सत्य कथन कोन-सा है ?

  1. (AB + BC + CA) = (AD + BE + CF)
  2. (AB + BC + CA) < (AD + BE + CF)
  3. (AB + BC + CA) > (AD + BE + CF)
  4. इनमे से कोई नही

हल :- एक त्रिभुज की परिमिति इसकी तीनो माध्यकाओ के योग से बड़ी है मतलब (AB + BC + CA) > (AD + BE + CF)

आप्शन 3 सही है

Q10. ΔABC की तीन शीर्षों से ऊंचाईयों क्रमशः AL, BM तथा CN हो तो निम्नलिखित कथनों में से सत्य कथन कोन-सा है ?

  1. (AB + BC + CA) = (AL + BM + CN)
  2. (AB + BC + CA) < (AL + BM + CN)
  3. (AB + BC + CA) > (AL + BM + CN)
  4. इनमे से कोई नही
त्रिभुज से संबंधित प्रश्न

AL < AB, BM < BC तथा CN < CA ⇒ (AL + BM + CN) < (AB + BC + CA)

इसलिए आप्शन 3 सही है

Q11. किसी त्रिभुज की भुजाओ की लम्बाईया क्रमशः p, q, r है यदि p2 + q2 + r2 = pq + qr + pr हो, तो यह त्रिभुज कोन-सा है ?

p2 + q2 + r2 = pq + qr + pr

2p2 + 2q2 + 2r2 = 2pq + 2qr + 2pr (क्योकि दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर)

(p2 + q2 – 2pq) + (q2 + r2 – 2qr) + (r2 + p2 – 2rp) = 0

(p – q)2 + (q – r)2 + (r – p)2 = 0

(p – q) = 0, (q – r) = 0, (r – p) = 0

p = q, q = r, r = p ⇒ p = q = r

अत दी गई त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है

Q12. किसी त्रिभुज की भुजाये 3 : 4 : 6 के अनुपात में है यह त्रिभुज है

माना त्रिभुज की भुजाए क्रमश = 3x, 4x, 6x

(3x)2 + (4x)2 = 25x2 जो कि c2 से छोटा होगा (जहा a = 3x, b = 4x और c = 6x है)

a2 + b2 < c2 इसलिए दिया गया त्रिभुज अधिककोणीय है

Q13. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण त्रिभुज की छोटी भुजा के दुगुने से 1 मीटर कम है यदि तीसरी भुजा सबसे छोटी भुजा से 1 मीटर अधिक हो, तो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा कितनी है ?

माना त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x, तब कर्ण की माप = 2x – 1

और तीसरी भुजा की लम्बाई = x + 1

(2x – 1)2 = x2 + (x + 1)2 ⇒ 4x2 + 1 – 4x = x2 + x2 + 1 + 2x {क्योकि समकोण त्रिभुज है}

2x2 – 6x = 0 ⇒ 2x(x – 3) = 0

x = 0, 3

त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लम्बाई 0 तो हो नही सकती इसलिए 3 होगी

Q14. एक समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, सबसे छोटी भुजा का 5/3 है इसकी तीसरी भुजा की लम्बाई 8 cm है इस त्रिभुज की सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी भुजाओ का योग कितना है ?

समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x, तभी सबसे बड़ी भुजा = (5/3)x

[(5/3)x]2 = x2 + 82 ⇒ (25/9)x2 = x2 + 64

[(4/3)x]2 = 82 ⇒ (4/3)x = 8

x = 6 cm और सबसे बड़ी भुजा = 10 cm

योग = 16 cm

Q15. एक त्रिभुज के सबसे बड़े तथा उससे छोटे कोण का अनुपात 3 : 2 है सबसे छोटा कोण इन दोनों कोणों के योग का 20% है सबसे बड़े कोण को छोड़कर शेष दो कोणों का योग कितना है

त्रिभुज के सबसे बडा कोण = 3x और दूसरा कोण = 2x

सबसे छोटा कोण = (1/5)5x = x

3x + 2x + x = 180° क्योकि त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होत्ता है

x = 30°

सबसे बड़े कोण को छोड़कर शेष दो कोणों का योग = 60° + 30° = 90°

Q16. एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लम्बाई 126 cm है अन्य भुजा तथा कर्ण के बीच का अंतर 42 cm है कर्ण की लम्बाई कितनी है ?

(x + 42)2 = x2 + 1262

x2 + 422 + 84x = x2 + 1262

84x = 1262 – 422⇒ 84x = (42×3)2 – 422

84x = 422(9 – 1)⇒ x = 168

कर्ण की लम्बाई = 168 + 42 = 210 cm

Q17. एक त्रिभुज का एक कोण (π/4)c तथा (π/6)c है तीसरे कोण का माप क्या होगा ?

त्रिभुज का पहला कोण = [(π/4) × (180/π)]° = 45°

इसी प्रकार दूसरा कोण = [(π/6) × (180/π)]° = 30°

त्रिभुज का तीसरा कोण = 180° – (45° + 30°) = 105°

Q18. एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाये जो समकोण बनाती है क्रमशः 5x cm तथा (3x – 1) cm लम्बी है यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 cm2 हो, तो त्रिभुज की भुजाये है :

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 60 cm2

(1/2) × आधार × ऊंचाई = 60

(1/2) × 5x × (3x – 1) = 60

15x2 – 5x = 120

15x2 – 5x – 120 = 0 ⇒ 3x2 – x – 24 = 0

3x2 – 9x + 8x – 24 = 0⇒ 3x(x – 3) + 8(x – 3) = 0

(3x + 8)(x – 3) = 0 ⇒ x = 3

त्रिभुज की भुजाये है : 15 cm, 8 cm, 17 cm

Q19. ΔABC में ∠C = 90° तथा बिंदु C से कर्ण AB पर खीचा गया लम्ब CD है तब निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन-सा है ?

त्रिभुज से संबंधित प्रश्न
  1. 1/CD2 = 1/BC2 + 1/CA2
  2. 1/CD2 = 1/CA2 + 1/AD2
  3. 1/CD2 = 1/CB2 + 1/BD2

हल :- sinA = लम्भ/कर्ण = CD/AC

sinB = लम्भ/कर्ण = CD/BC और sinB = sin(90 – A) = cosA

sin2A + cos2A = 1 [using this फार्मूला]

(CD/AC)2 + (CD/BC)2 = 1

1/AC2 + 1/BC2 = 1/CD2

इसलिए आप्शन 1 सही है

Q20. दिये गये ΔABC में AD एक मध्यिका है तथा AD का मध्य बिंदु E है BE को मिलाकर आगे बढ़ाने पर यह AC को F पर काटती है तब निम्नलिखित में से सत्य कथन कोन सा है ?

  1. AF = AC/4
  2. AF = AC/2
  3. AF = AC/3
  4. AF = 2AC/3

हल :- सबसे पहले हमे एक line EF के समानातर खिचे जो line FC को G बिंदु पर काटे

AE = ED ⇒ AF = FG

BC का मध्य बिंदु D है तथा DG ∥ BF

अत CF का मध्य बिंदु G है इसलिए CG = GF

और (AF = FG = GC) ⇒ AF = (1/3)AC

आप्शन 3 सही है