चतुर्भुज के 17 सवाल

चतुर्भुज के 17 सवाल आपके कम्पटीशन exams की परीक्षा की तेयारी के लिए बेहद महत्वपूर्ण है चतुर्भुज के प्रकार परिभाषा सहित से आप चतुर्भुज से सम्बंधित सामान्य जानकारी और आवश्यक सूत्रों की जानकारी प्राप्त कर सकते है

चतुर्भुज के सवाल

चतुर्भुज के 17 सवाल चित्र सहित हल –

Q1. किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के समद्विभाजको के बीच के कोण का माप कितना होगा ?

चतुर्भुज के सवाल

समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के समद्विभाजको के बीच बना कोण = ∠AOB

∠A + ∠B = 180° ⇒ (1/2)∠OAB + (1/2)∠ABO = (1/2)180°

∠OAB + ∠ABO = 90° ………………. 1

∠OAB + ∠AOB + ∠ABO = 180° {∵ त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है}

90° + ∠AOB = 180 ⇒ ∠AOB = 90°

Q2. एक चतुर्भुज की आसन्न भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को क्रमशः मिलाने पर प्राप्त आकृति क्या होगी ?

Ans. समांतर चतुर्भुज

Q3. एक वर्ग की आसन्न भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को क्रमशः मिलाने पर प्राप्त आकृति क्या होगी ?

Ans. वर्ग

Q4. एक आयत की आसन्न भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को क्रमशः मिलाने पर प्राप्त आकृति क्या होगी ?

Ans. समचतुर्भुज

Q5. एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को क्रमश मिलाने पर प्राप्त आकृति क्या होगी ?

Ans. आयत

Q6. एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को क्रमशः मिलाने पर प्राप्त आकृति क्या होगी ?

Ans. समांतर चतुर्भुज

Q7. एक समांतर चतुर्भुज का एक कोण अपने आसन्न कोण के दुगुने से 15° कम है इसके सबसे बड़े कोण का नाप कितना होगा ?

जेसा कि आपने पढ़ा कि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने के कोण बराबर होते है मतलब ∠A = ∠C और ∠B = ∠D

इसलिए माना पहला कोण A है और तब उसका आसन्न कोण B होगा

∠B = (2∠A – 15°) ………………….. 1

∠A + ∠B = 180 ⇒ ∠A + [(2∠A – 15°)] = 180°

3∠A = 195° ⇒ ∠A = 65°

इसलिए ∠B = (2×65 – 15°) = 115°

सबसे बड़े कोण का नाप = ∠B = ∠D = 115°

Q8. दी गई आकृति में एक आयत ABCD के अंदर एक बिंदु O है यदि OA = 5 cm, OB = 6 cm , OC = x cm तथा OD = 8 cm हो, तो x का मान कितना है ?

चतुर्भुज के सवाल

ऐसे केस में ध्यान दे :-

OA2 + OC2 = OB2 + OD2 ⇒ 52 + x2 = 62 + 82

25 + x2 = 36 + 64 ⇒ x2 = 75

x = 5√3 cm

Q9. दी गई आकृति में ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है यदि OA = (3x – 1) cm, OB = (2x + 1) cm, OC = (5x – 3) cm तथा OD = (6x – 5) cm हो, तो x का मान क्या होगा ?

चतुर्भुज के सवाल

ध्यान दे :-

OA/OC = OB/OD ⇒ (3x – 1)/(5x – 3) = (2x + 1)/(6x – 5)

15x2 – 9x – 5x + 3 = 12x2 – 10x + 6x – 5

3x2 – 10x + 8 = 0 ⇒ 3x2 – 6x – 4x + 8 = 0

3x(x – 2) – 4(x -2) = 0 ⇒ (x – 2)(3x – 4) = 0

x = 2, 4/3

Q10. चतुर्भुज ABCD में ∠A = (1/2)∠B, ∠B = ∠C + 12° तथा ∠C = 2∠D हो, तो ∠D का मान क्या होगा ?

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° {क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है}

∠D + ∠C + ∠B + ∠A = 360° ⇒ ∠D + [2∠D] + [2∠D + 12°] + (1/2)[2∠D + 12°] = 360°

6∠D + 18 = 360° ⇒ 6∠D = 342°

∠D = 57°

Q11. एक चतुर्भुज ABCD में ∠A = ∠B – 26°, ∠B = 2∠C तथा ∠C = ∠D + 10° हो, तो A = ?

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° {क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है}

∠D + ∠C + ∠B + ∠A = 360° ⇒ ∠D + [∠D + 10°] + 2[∠D + 10°] + [2∠D – 6] = 360°

6∠D + 24 = 360° ⇒ 6∠D = 336°

∠D = 56°

∠C = [∠D + 10°] = 66°

∠B = 2∠C = 132°

∠A = ∠B – 26° = 106°

Q12. किसी आयत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से तीन गुणा है इसकी भुजाओ का अनुपात क्या होगा ?

चतुर्भुज के सवाल

समकोण त्रिभुज ABC में,

x2 + y2 = (3y)2 ⇒ x2 = 8y2

x2/y2 = 8/1 ⇒ x/y = 2√2/1

Q13. एक समचतुर्भुज के दो सम्मुख कोणों में से प्रत्येक की नाप 60° है तथा इसकी प्रत्येक भुजा 10 cm लम्बी है इसके छोटे विकर्ण की लम्बाई कितनी है ?

चतुर्भुज के सवाल

∠DAB = ∠BCD = 60° {क्योकि दिया है}

समचतुर्भुज ABCD में,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360° {क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है}

∠ABC + 60° + ∠CDA + 60° = 360° ⇒ ∠ABC + ∠CDA = 240

∠ABC = ∠CDA = 120° क्योकि समचतुर्भुज है

∠ADB = ∠ABD = (1//2)∠ABC = 60°

त्रिभुज ABD में,

∠ADB = ∠ABD = ∠DAB = 60° ⇒ त्रिभुज समबाहु है

इसलिए छोटे विकर्ण की लम्बाई (BD) = 10 cm

Q14. एक समांतर चतुर्भुज का एक कोण उसके सबसे छोटे कोण के दुगुने से 30° कम है इसके सबसे बड़े कोण का नाप कितना है ?

माना सबसे छोटा कोण = ∠A = ∠C = x° {क्योकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने के कोण बराबर होते है}

दूसरा कोण = ∠B = ∠D = (2x° – 30°) {क्योकि समांतर चतुर्भुज के आमने सामने के कोण बराबर होते है}

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° क्योकि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है

2(x°) + 2(2x° – 30°) = 360° ⇒ 6x° = 420°

x° = 70°

सबसे बड़े कोण की माप = ∠B = ∠D = (2x° – 30°) = 110°

Q15. किस आकृति में कर्ण आपस में लम्बवत होते है ?

Ans. समचतुर्भुज

Q16. किसी समलम्ब चतुर्भुज ABCD की असमांतर भुजाओ AD तथा BC के मध्य बिंदु क्रमशः E तथा F है तब, EF = ?

EF = (AB + CD)/2

Q17. एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का एक जोड़ा क्रमशः (3x – 10)° तथा (x – 80)° है x का मान है :

समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है इसलिए (3x – 10)°= (x – 80)°

2x = 90° ⇒ x = 45°