बहुभुज सवाल और जवाब (POLYGONS)

बहुभुज सवाल और जवाब (POLYGONS) में बहुभुज की परिभाषा, बहुभुज के प्रकार और बहुभुज सूत्र की सहायता से बहुभुज से सम्बंधित 18 सवालो को हल किया गया है बहुभुज सवाल और जवाब के सवालों को समझने से पहले बताए गए बहुभुज सूत्रों को अच्छी तरह से याद कर लेना चाहिए

बहुभुज सवाल और जवाब (POLYGONS)
बहुभुज सवाल और जवाब (POLYGONS)

बहुभुज की परिभाषा

कुछ सरल रेखाओ से घिरी बंद समतल आकृति को बहुभुज कहते है

बहुभुज के प्रकार :

  1. उत्तल बहुभुज : यदि किसी बहुभुज का कोई भी अन्त कोण 180 से अधिक n हो उसे उत्तल बहुभुज कहते है
  2. अवतल बहुभुज : यदि किसी बहुभुज का एक भी अन्तकोण 180 से अधिक हो, तो उसे अवतल बहुभुज कहते है
  3. समबाहु बहुभुज : यदि किसी बहुभुज की सभी भुजाये समान हो तो उसे समबाहु बहुभुज कहते है

नोट : एक समबाहु बहुभुज के सारे अन्त कोण बराबर होते है

n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है

n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में अंतःकोण = (360/n) और बाह्य कोण = 180 – (बाह्य कोण)

n भुजाओ की बहुभुज में सभी अंतःकोणों का योग = (2n – 4) × 90°

उदाहरण :

त्रिभुज के सभी अंतःकोणों का योग = (2 × 3 – 4) समकोण = 2 समकोण = 180°

चत्रभुज के सभी अंतःकोणों का योग = (2 × 4 – 4) समकोण = 4 समकोण = 360°

पंचभुज के सभी अंतःकोणों का योग = (2 × 5 – 4) समकोण = 6 समकोण = 540°

n भुजाओ की बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {n(n – 1)/2 – n} = (n2 – 3n)/2

एक चत्रभुज में विकर्ण की संख्या = {4(3)/2 – 4} = 2

एक पंचभुज में विकर्ण की संख्या = {5(4)/2 – 5} = 5

बहुभुज सवाल और जवाब (POLYGONS) सम्बंधित 18 सवाल

Q1. एक पंचभुज के 4 कोणों के माप क्रमशः 130, 85, 108, 82 है पांचवे कोण का माप कितना होगा ?

किसी पंचभुज के 5 कोणों का योग = (2×5 – 4) × 90 = 540°

पांचवे कोण का माप = 540 – (130 + 85 + 108 + 82) = 135°

Q2. एक सप्तभुज के कोण 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 7 : 8 के अनुपात में है इसका न्यूनतम कोण कितना है ?

माना सप्तभुज के सातों कोण क्रमशः = 1x, 2x, 3x, 4x, 5x, 7x, 8x

सप्तभुज के सात कोणों का योग = (2×7 – 4) × 90 = 900

(1x + 2x + 3x + 4x + 5x + 7x + 8x) = 900

30x = 900 ⇒ x = 30

इसलिए न्यूनतम कोण = 1x = 30°

Q3. किसी अष्टभुज के सभी कोणों का योग कितना है ?

अष्टभुज के सभी कोणों का योग = (2×8 – 4) × 90° = 1080°

Q4. एक बहुभुज के अंतःकोण समांतर श्रेढ़ी में है जिसका सार्वअंतर 5 है यदि इसका सबसे छोटा कोण 120 हो, तो इसकी भुजाओ की संख्या कितनी है ?

माना बहुभुज में भुजाओ की संख्या = n

बहुभुज के सभी कोणों का योग = (n/2)[2a + (n – 1)d] जहा पर a = 120 है और d = 5

= (n/2)[240 + 5(n – 1)] = (n/2)[235 + 5n] ………………… 1

बहुभुज के सभी कोणों का योग = (2n – 4) × 90 {∵ By Formula}

(n/2)[235 + 5n] = (2n – 4) × 90

n[235 + 5n] = (2n – 4) × 180

235n + 5n2 = 360n – 720

5n2 – 125n + 720 = 0 ⇒ n2 – 25n + 144 = 0

n2 – 16n – 9n + 144 = 0 ⇒ n(n – 16) -9(n – 16) = 0

(n – 16)(n – 9) = 0 ⇒ n = 16, 9

यदि n = 16 तो सबसे बड़ा कोण = an = (120 + 15×5) = 195 जो कि सम्भव नही है

Q5. एक n भुजा वाले बहुभुज की भुजाओ को एक ही क्रम में बढ़ाने से बने बहिषकोणों का योग कितना है ?

n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है {∵ By Formula}

Q6. एक अष्ट भुज के कितने विकर्ण होते है ?

n भुजाओ की बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {n(n – 1)/2 – n} {∵ By Formula}

इसलिए अष्टभुज में विकर्ण की संख्या = {8(8 – 1)/2 – 8} = 20

Q7. 100 भुजाओ वाले बहुभुज में विकर्ण की संख्या कितनी है ?

100 भुजाओ वाले बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {100(100 – 1)/2 – 100} [∵ By Formula]

⇒ {9900/2 – 100} = 4850

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Q8. एक बहुभुज के 27 विकर्ण है इसकी भुजाओ की संख्या कितनी है ?

बहुभुज में विकर्ण की संख्या = {n(n – 1)/2 – n} {∵ By Formula}

27 = (n2 – n)/2 – n

54 = (n2 – n – 2n)

n2 – 3n – 54 = 0 ⇒ n2 – 9n + 6n – 54 = 0

n(n – 9) + 6(n – 9) = 0 ⇒ (n – 9)(n + 6) = 0

n = 9

Q9. किसी समबहुभुज के बाह्य तथा अंतःकोण 1 : 4 के अनुपात में है बहुभुज की भुजाओ की संख्या कितनी है ?

माना समबहुभुज के बाह्य तथा अंतःकोण क्रमशः = 1x°, 4x°

प्रत्येक बाह्य और अंतःकोण का योग = 180

इसलिए (1x + 4x) = 180 ⇒ x = 36

बहुभुज की भुजाओ की संख्या = सभी बाह्य कोणों का योग / प्रत्येक बाह्य कोण {Please Note this}

⇒ 360/36 = 10 {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}

Q10. किसी समबहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 150° है इसकी भुजाओ की संख्या कितनी है ?

समबहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण = 150° इसलिए बाह्य कोण = 180° – 150° = 30°

बहुभुज की भुजाओ की संख्या = सभी बाह्य कोणों का योग / प्रत्येक बाह्य कोण {Please Note this}

⇒ 360/30 = 12 {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}

Q11. किसी समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण का माप कितना है ?

समबाहु अष्टभुज में प्रत्येक बाह्य कोण = 360°/8 = 45° {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}

इसलिए प्रत्येक अंतःकोण का माप = 180° – 45° = 135°

Q12. एक समबाहु बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 40° है इस बहुभुज की भुजाओ की संख्या कितनी है ?

समबाहु बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 40°

n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है {∵ By Formula}

इसलिए बहुभुज की भुजाओ की संख्या = 360/40 = 9

Q13. एक समबाहु बहुभुज के प्रत्येक अंतःकोण तथा बाह्य कोण का अंतर 60° है इस बहुभुज की भुजाओ की संख्या कितनी है ?

माना समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण = x°

इसलिए समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक बाह्य कोण = 180° – x°

समबाहु बहुभुज के प्रत्येक अंतःकोण तथा बाह्य कोण का अंतर = 60

x – (180 – x) = 60 ⇒ x = 120

अत समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण = 120° और प्रत्येक बाह्य कोण = 180° – 120° = 60°

Q14. एक समबाहु बहुभुज के अंतःकोण तथा बाह्य कोण का अनुपात 7 : 2 है इस बहुभुज की भुजाओ की संख्या कितनी है ?

माना समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण = 7x°

माना समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक बाह्य कोण = 2x°

अंतःकोण + बाह्य कोण = 180°

2x + 7x = 180 ⇒ 9x = 180

x = 20

इसलिए प्रत्येक बाह्य कोण = 40° {∵ बाह्य कोण = 2x}

भुजाओ की संख्या = 360/40 {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}

= 9

Q15. किसी समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण तथा बाह्यकोण का अनुपात कितना है ?

समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक बाह्यकोण = 360°/8 = 45°

समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण = 180° – 45° = 135°

समबाहु अष्टभुज के प्रत्येक अंतःकोण तथा बाह्यकोण का अनुपात = 45/135 = 1/3

Q16. दो समबाहु बहुभुज की भुजाओ की संख्या का अनुपात 1 : 2 तथा उसके अंतःकोणों के माप 2 : 3 के अनुपात में है इन बहुभुज की भुजाओ की संख्या है, क्रमशः

माना दो समबाहु बहुभुज की भुजाओ की संख्या क्रमशः = 1x, 2x तथा

अंतःकोणों के माप क्रमशः = (2y)°, (3y)°

इसलिय इनके बाह्य कोणों की माप = (180 – 2y)° और (180 – 3y)°

360/x = 180 – 2y और 360/2x = 180 – 3y

360/x + 2y = 180 …………… 1

360/2x + 3y = 180 …………… 2

समीकरण 1 को 3 से तथा 2 को 2 से गुणा करके घटाने पर

1080/x – 360/x = 180

6/x – 2/x = 1 ⇒ x = 4

इन बहुभुज की भुजाओ की संख्या = 2, 4

Q17. एक समबाहु बहुभुज के सभी अंतःकोणों का योग उसके सभी बाह्य कोणों के योग का दुगुना है यह बहुभुज क्या है ?

समबाहु बहुभुज के सभी अंतःकोणों का योग = समबाहु बहुभुज सभी बाह्य कोणों के योग का दुगुना

(2n – 4) × 90 = 360 × 2 {∵ n भुजाओ की समबाहु बहुभुज में सभी बाह्य कोणों का योग 4 समकोण होता है}

2n = 12 ⇒ n = 6

इसलिए यह एक ष्टभुज है

Q18. किसी समबाहु बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण एक समबाहु षटभुज के प्रत्येक अंत कोण का 9/8 है इस बहुभुज में भुजाओ की संख्या कितनी है ?

समबाहु षटभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = (360/6)° = 60°

इसलिए समबाहु षटभुज का प्रत्येक अंतःकोण = (180° – 60°) = 120°

समबाहु बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण = एक समबाहु षटभुज के प्रत्येक अंतःकोण का 9/8

= 120(9/8) = 135°

इसलिए समबाहु बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 180° – 135° = 45°

बहुभुज में भुजाओ की संख्या = 360/45 = 8

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