घातांक और करणी formula

घातांक और करणी formula में आपको घात और घातांक के सूत्र जिनकी मदद से हम बहुत कम समय में कोई भी घातांक और करणी से सम्बंधित सवाल को केवल कुछ ही सेकंड में हल कर सकते है, के बारे में बताया गया है घातांक और करणी formula में कुछ सम्बंधित सवाल भी हल किये हुए है –

घातांक और करणी formula
घातांक और करणी formula

करणी की परिभाषा :-

माना a एक परिमेय संख्या है तथा n एक धन पूर्णाक है यदि a का n व मूल एक अपरिमेय राशि हो तो a(1/n) = n√a को घात n की करणी कहा जाता है

उदाहरण :

  1. √9 = (9)1/2 , एक द्वितीय घात की करणी है (क्योकि यहा पर चर की घात शून्य है)
  2. 4√5 = (5)1/4 , एक करणी है जिसकी घात 4 है

घातांक के नियम (Law of Indices) :

  1. am × an = amn
  2. (am) ÷ (an) = a(m – n)
  3. (am)n = amn
  4. (ab)n = (an × an)
  5. (a/b)n = an/bn
  6. a0 = 1

करणी के नियम (Laws of Surds) :

  1. (n√a)n = (a1/n)n = a
  2. n√ab = n√a . n√b
  3. mn√a = mn√a
  4. n√(a/b) = n√a/n√b
  5. (n√a)m = n√am

घातांक और करणी formula से सम्बंधित सवाल –

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Q1. सरल कीजिए – (1/64)(-2/3)

(1/64)(-2/3) = 1/(1/64)(2/3)

= (64)(2/3)

= (4×4×4)(2/3)

= (4)2

= 16

Q2. (0.00032)0.6 = ?

= (32/100000)(6/10)

= (32/100000)(3/5)

= (2/10)5(3/5)

= (2/10)3

= 8/1000

= 0.008

Q3. [(625)6.25 × (25)2.6 ] / [(625)6.75 × (5)1.2] = ?

= [(54)625/100 × (52)26/10 ] / [(54)675/100 × (51)12/10 ]

= [(5)625/25 × (5)5.2] / [(5)675/25 × (5)1.2]

= [(5)25 + 5.2] / [(5)27 + 1.2]

= (5)30.2 / (5)28.2

= (5)30.2 – 28.2

= (5)2

= 25

Q4. यदि (√3)5 × 92 = 3n × 3√3 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए

(3)5/2 × (3)4 = 3n × 33/2

35/2 + 4 = 3n + 3/2

5/2 + 4 = n + 3/2

n = 5

Q5. सरल कीजिए : (xa / xb)(a2+ab+b2) . (xb / xc)(b2+bc+c2) . (xc / xa)(c2+ca+a2)

= (xa-b)(aa+ab+bb) . (xb-c)(bb+bc+cc) . (xc-a)(cc+ca+aa)

= (x)(aaa – bbb) . (x)(bbb – ccc) . (x)(ccc – aaa)

= (x)aaa – bbb + bbbb – ccc + ccc – aaa

= (x)0

= 1

Q6. √2 तथा 3√3 में से कोन-सा बड़ा है ?

√2 = (2)1/2 और 3√3 = (3)1/3

(21/2)6 = 8 और (31/3)6 = 9 [∵ दोनों की घात 6 = lcm (2,3) लेने पर]

8 < 9 इसलिए √2 < 3√3

Q7. √2, 3√4, 4√6 को आरोही क्रम में लिखिए

(2)1/2 , (4)1/3 , (6)1/4

(21/2)12 , (41/3)12 , (61/4)12 [∵ दोनों की घात 12 = lcm (2,3,4) लेने पर]

(26), (44), (63)

(43), (44), (63) और 64, 256, 216

∴ √2 < 4√6 < 3√4

Q8. यदि 3x – y = 27 तथा 3x + y = 243 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए

3x – y = 27 ⇒ 3x – y = 33

x – y = 3 ………………….. 1

3x + y = 243 ⇒ 3x + y = 35

x + y = 5 ………………….. 2

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर

x = 4 और y = 1

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